Turunan (SMA XI)

Download pdf-nya di sini

Turunan

1.       Definisi

Archimedes (287-212), Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) dan Leibniz (1646-1716).

Turunan fungsi f(x) adalah laju perubahan fungsi bila saat nilai domainnya mendekati 0.

2.       Notasi

3.       Turunan Fungsi Aljabar

a)      Turunan fungsi konstan y = f(x) = c

b)      Turunan fungsi f(x) = xⁿ

 

 

 

c)       Turunan fungsi y=g(x)±h(x) = u±v

d)      Turunan fungsi y=g(x)·h(x) = u·v

e)      Turunan fungsi y=g(x)/h(x) = u/v

Atau

4.       Turunan Fungsi Trigonometri

a.       Turunan fungsi y = sin x

 

 

 

b.      Turunan fungsi y = cos x

 

 

 

c.       Turunan fungsi fungsi trigonometri lain

Ingat:

 

 

5.       Turunan Fungsi Komposisi f(x) = (g o h)(x)

 

Atau jika kita menggunakan notasi Leibniz dan aturan rantai sebagai berikut:

 

6.       Turunan Fungsi Logaritma

a.       Untuk fungsi f(x) = ^alog x

 

Misalkan                , maka saat              , nilai            . Dengan ini kita dapat merubah bentuk di atas menjadi:

 

                                                                                                                                                 

 

b.      Untuk fungsi  f(x) = ln x

 

7.       Turunan Fungsi Eksponensial f(x) = e^g(x)

 

Turunkan kedua ruas dengan menggunakan turunan logaritma dan dalil rantai sehingga menjadi:

 

8.       Turunan Fungsi Implisit f(x,y)=c

Fungsi implisit f(x,y)=c, dimana y juga merupakan fungsi dari x.

Contoh:

Tentukan y’ dari fungsi:

 

Caranya dengan menurunkan kedua ruas terhadap x, seperti berikut:

 

9.       Turunan Jenis Lebih Tinggi

 

10.   Aplikasi Turunan

a.       Fungsi naik – Fungsi turun

Untuk y=f(x), jika:

f’(x) < 0 atau f’(x) bernilai negatif, maka kurva y=f(x) akan turun.

f’(x) = 0, maka kurva y=f(x) berada pada keadaan stasioner.

f’(x) > 0 atau f’(x) bernilai positif, maka kurva y=f(x) akan naik.

b.      Nilai stationer (kritis) dari fungsi

Seperti yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, nilai stasioner dari sebuah fungsi akan diperoleh saat turunan pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol. Perhatikan grafik berikut

Misalkan:

f’(a)=f’(b)=f’(c)=0

maka nilai stationer dari fungsi tersebut adalah f(a), f(b), dan f(c).

c.       Nilai maksimum – Nilai minimum

Masih berdasarkan gambar diatas, dengan menggunakan analisis nilai turunan pertama:

-          Pada titik A, f’(x) berubah dari positif menjadi negatif, maka f(a) disebut nilai balik maksimum

-          Pada titik B, f’(x) berubah dari negatif-nol-negatif, maka f(b) disebut nilai belok horisontal

-          Pada titik C, f’(x) berubah dari negatif menjadi positif, maka f(c) disebut nilai balik minimum

Selain menggunakan analisis turunan pertama, kita juga dapat menggunakan turunan kedua untuk menentukan nilai balik/belok, seperti berikut:

i.                     f(a) adalah nilai balik maksimum jika f’(a)=0 dan f’’(a)<0 a="" bernilai="" f="" negatif="" p="">

ii.                   f(c) adalah nilai balik minimum jika f’(c)=0 dan f’’(c)>0 (f’’(c) bernilai positif)

d.      Menggambar bentuk grafik fungsi

Langkah 1. Buat analisa awal sebagai berikut;

1.  Periksa daerah asal (domain)  dan daerah hasil (range) fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang di kecualikan

2.  Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu kordinat.

3.  Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik stationer (kritis) dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik , turun, maupun berbalik secara horizontal.

4.  Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan ttik-titik balik.

Langkah 2 Gambarkan beberapa titik ( termasuk semua titik kritis dan titik balik )

Langkah 3 Sketsa grafik

e.      Menentukan Kecepatan dan percepatan

Kecepatan merupakan turunan pertama dari sebuah fungsi terhadap waktu. à v = f’(t)

Percepatan merupakan turunan kedua dari sebuah fungsi terhadap waktu, atau merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan terhadap waktu. à a = f’’(t) = v’(t)

f.        Menentukan elastisitas permintaan

Elastisitas permintaaan(e_D) adalah perubahan relatif permintaan barang (b%) terhadap perubahan relatif harga barang (a%).  à  e_D = ( b%/a%)

Secara matematis:

Jika fungsi permintaan adalah Q_Demand=f(Price), maka

 

Hal ini berlaku juga untuk elastisitas penawaran (e_S) dan elastisitas produksi (e_P).

eP = Elastisitas Produksi p  = output x  = input

 

g.       Analisis marginal

Dalam ilmu ekonomi, istilah marginal diartikan sebagai laju perubahan atau turunan pertama dari sebuah fungsi.

Misalkan:

C(x) = total biaya untuk memproduksi x unit

R(x) = pendapatan total dari penjualan x unit

P(x) = Keuntungan total yang diperoleh dari penjualan x unit produk

Dari keterangan tersebut, maka dapat dihubungkan:

P(x) = R(x) – C(x)

Sehingga:

P’(x) = R’(x) – C’(x)

C’(x) = disebut biaya marginal

R’(x) = disebut penerimaan marginal

P’(x) = disebut keuntungan marginal

h.      Aturan L’hopital

Jika:
                                                 atau

 

                                        memiliki nilai

dan

 

maka

 

Penurunan: