Cari Blog Ini

Kamis, 28 Mei 2015

Turunan (SMA XI)


Turunan

1.       Definisi
Archimedes (287-212), Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) dan Leibniz (1646-1716).


Turunan fungsi f(x) adalah laju perubahan fungsi bila saat nilai domainnya mendekati 0.




2.       Notasi


3.       Turunan Fungsi Aljabar
a)      Turunan fungsi konstan y = f(x) = c




b)      Turunan fungsi f(x) = xn

 

 

 


c)       Turunan fungsi y=g(x)±h(x) = u±v




d)      Turunan fungsi y=g(x)·h(x) = u·v




e)      Turunan fungsi y=g(x)/h(x) = u/v





Atau

4.       Turunan Fungsi Trigonometri
a.       Turunan fungsi y = sin x

 




 




 




b.      Turunan fungsi y = cos x

 




 


 





c.       Turunan fungsi fungsi trigonometri lain
Ingat:
 



 







5.       Turunan Fungsi Komposisi f(x) = (g o h)(x)






 



Atau jika kita menggunakan notasi Leibniz dan aturan rantai sebagai berikut:
 











6.       Turunan Fungsi Logaritma
a.       Untuk fungsi f(x) = alog x
 









Misalkan                , maka saat              , nilai            . Dengan ini kita dapat merubah bentuk di atas menjadi:
 













                                                                                                                                                 

 









b.      Untuk fungsi  f(x) = ln x
 








7.       Turunan Fungsi Eksponensial f(x) = eg(x)
 








Turunkan kedua ruas dengan menggunakan turunan logaritma dan dalil rantai sehingga menjadi:
 








8.       Turunan Fungsi Implisit f(x,y)=c
Fungsi implisit f(x,y)=c, dimana y juga merupakan fungsi dari x.

Contoh:

Tentukan y’ dari fungsi:
 



Caranya dengan menurunkan kedua ruas terhadap x, seperti berikut:
 

















9.       Turunan Jenis Lebih Tinggi
 











10.   Aplikasi Turunan
a.       Fungsi naik – Fungsi turun
Untuk y=f(x), jika:

f’(x) < 0 atau f’(x) bernilai negatif, maka kurva y=f(x) akan turun.
f’(x) = 0, maka kurva y=f(x) berada pada keadaan stasioner.
f’(x) > 0 atau f’(x) bernilai positif, maka kurva y=f(x) akan naik.

b.      Nilai stationer (kritis) dari fungsi
Seperti yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, nilai stasioner dari sebuah fungsi akan diperoleh saat turunan pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol. Perhatikan grafik berikut
Misalkan:
f’(a)=f’(b)=f’(c)=0
maka nilai stationer dari fungsi tersebut adalah f(a), f(b), dan f(c).

c.       Nilai maksimum – Nilai minimum

Masih berdasarkan gambar diatas, dengan menggunakan analisis nilai turunan pertama:
-          Pada titik A, f’(x) berubah dari positif menjadi negatif, maka f(a) disebut nilai balik maksimum
-          Pada titik B, f’(x) berubah dari negatif-nol-negatif, maka f(b) disebut nilai belok horisontal
-          Pada titik C, f’(x) berubah dari negatif menjadi positif, maka f(c) disebut nilai balik minimum
Selain menggunakan analisis turunan pertama, kita juga dapat menggunakan turunan kedua untuk menentukan nilai balik/belok, seperti berikut:
i.                     f(a) adalah nilai balik maksimum jika f’(a)=0 dan f’’(a)<0 a="" bernilai="" f="" negatif="" p="">
ii.                   f(c) adalah nilai balik minimum jika f’(c)=0 dan f’’(c)>0 (f’’(c) bernilai positif)

d.      Menggambar bentuk grafik fungsi
Langkah 1. Buat analisa awal sebagai berikut;
1.  Periksa daerah asal (domain)  dan daerah hasil (range) fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang di kecualikan
2.  Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu kordinat.
3.  Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik stationer (kritis) dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik , turun, maupun berbalik secara horizontal.
4.  Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan ttik-titik balik.
Langkah 2 Gambarkan beberapa titik ( termasuk semua titik kritis dan titik balik )
Langkah 3 Sketsa grafik

e.      Menentukan Kecepatan dan percepatan
Kecepatan merupakan turunan pertama dari sebuah fungsi terhadap waktu. à v = f’(t)
Percepatan merupakan turunan kedua dari sebuah fungsi terhadap waktu, atau merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan terhadap waktu. à a = f’’(t) = v’(t)

f.        Menentukan elastisitas permintaan
Elastisitas permintaaan(eD) adalah perubahan relatif permintaan barang (b%) terhadap perubahan relatif harga barang (a%).  à  eD = ( b%/a%)
Secara matematis:
Jika fungsi permintaan adalah QDemand=f(Price), maka
 






Hal ini berlaku juga untuk elastisitas penawaran (eS) dan elastisitas produksi (eP).

eP = Elastisitas Produksi
p  = output
x  = input
 






g.       Analisis marginal

Dalam ilmu ekonomi, istilah marginal diartikan sebagai laju perubahan atau turunan pertama dari sebuah fungsi.
Misalkan:
C(x) = total biaya untuk memproduksi x unit
R(x) = pendapatan total dari penjualan x unit
P(x) = Keuntungan total yang diperoleh dari penjualan x unit produk

Dari keterangan tersebut, maka dapat dihubungkan:

P(x) = R(x) – C(x)

Sehingga:

P’(x) = R’(x) – C’(x)

C’(x) = disebut biaya marginal
R’(x) = disebut penerimaan marginal
P’(x) = disebut keuntungan marginal


h.      Aturan L’hopital
Jika:
                                                 atau
 


                                        memiliki nilai

dan
 



maka
 





Penurunan: